植树问题（一）：两端都栽
认识"间隔"，掌握两端都栽树时"棵数 = 间隔数 + 1"的规律，学会用画图法研究数学问题
从本课开始学习第七单元：数学广角——植树问题。这个单元不学新计算，学的是一种思考方法：遇到复杂问题，先从简单的画起，找出规律再推广。
一、从一个简单的问题开始
同学们在全长 100 米的小路一边植树，每隔 5 米栽一棵树（两端都栽）。一共要栽多少棵树？
大胆猜一猜：很多同学会想：100 ÷ 5 = 20，所以要栽 20 棵。对吗？画个图验证一下！
二、画图找规律
100 米太长，画不下。我们换成短一点的路来研究，这也是植树问题的核心方法：化繁为简。
把结果整理成表格：
| 总长 | 间隔长 | 间隔数 | 棵数 |
|---|---|---|---|
| 20米 | 5米 | 4个 | 5棵 |
| 25米 | 5米 | 5个 | 6棵 |
| 30米 | 5米 | 6个 | 7棵 |
发现了吗？棵数总是比间隔数多 1！所以：
间隔数 = 总长 ÷ 间隔长
棵数 = 间隔数 + 1
现在回到例题1：100 ÷ 5 = 20（个间隔），20 + 1 = 21（棵）。刚才猜20棵的同学，错在忘了两头还有树！
伸出一只手，5 根手指之间有几个"空隙"？4 个。5 根手指 = 4 个空隙 + 1。手指就是"树"，空隙就是"间隔"，两端都有"手指"，所以棵数 = 间隔数 + 1。
三、例题精讲
一条马路长 72 米，在路的一侧植树，每隔 8 米栽一棵树，两端都栽。一共要栽多少棵？
间隔数：72 ÷ 8 = 9（个）
棵数：9 + 1 = 10（棵）
答：一共要栽 10 棵树。
一条小路全长 4.5 米，每隔 0.5 米放一盆花，两端都放。一共要放多少盆？
间隔数：4.5 ÷ 0.5 = 9（个）
盆数：9 + 1 = 10（盆）
答：一共要放 10 盆花。
说明：植树问题里的"树"可以是花盆、路灯、旗杆、椅子……只要是"两端都放"，规律都一样。
在一条路的一侧植树，两端都栽，每隔 6 米栽一棵，一共栽了 15 棵。这条路有多长？
分析：反过来想！棵数是 15，间隔数就是 15 − 1 = 14 个。
间隔数：15 − 1 = 14（个）
总长：14 × 6 = 84（米）
答：这条路长 84 米。
在一条路的一侧植树，两端都栽。这条路长 100 米，一共栽了 21 棵树。每隔几米栽一棵？
方法一（算术）：间隔数 = 21 − 1 = 20 个，100 ÷ 20 = 5（米）。
方法二（方程）：设每隔 x 米栽一棵。根据"间隔数 + 1 = 棵数"：
100 ÷ x + 1 = 21
100 ÷ x = 20
x = 5
答：每隔 5 米栽一棵。（检验：100 ÷ 5 + 1 = 21 ✓）
四、课堂练习
🧠 基础练习
第1题：一条路长 60 米，每隔 6 米栽一棵树（两端都栽），一共栽 棵。
第2题：一条路长 45 米，每隔 9 米安装一根电线杆（两端都装），一共要 根电线杆。
第3题：在一条路的一侧植树（两端都栽），每隔 5 米栽一棵，一共栽了 12 棵。这条路长 米。
🧠 判断题：检验理解
第1题：在一条 100 米的路旁植树（两端都栽），每隔 10 米栽一棵，一共要栽 10 棵。
💡 100 ÷ 10 = 10 只是间隔数，两端都栽还要 +1，应栽 11 棵。
第2题：两端都栽时，棵数 = 间隔数 + 1；反过来，间隔数 = 棵数 − 1。
第3题：植树问题的思考方法"化繁为简"，就是先研究短路程找规律，再用规律解决长路程。
🧠 应用题：完整解题过程
第1题：学校门口一条路长 96 米，在一侧挂灯笼，每隔 12 米挂一个，两端都挂。一共要挂多少个灯笼？
求间隔数：96 ÷ = （个）
求个数： + = （个）
第2题：在一条路的一侧植树，两端都栽，每隔 8 米栽一棵，一共栽了 16 棵。这条路长多少米？
求间隔数：16 − = （个）
求总长： × = （米）
第3题：一条公交线路全长 12.5 千米，每相邻两站相距 2.5 千米（起点站和终点站都算）。这条线路一共有多少个车站？
求间隔数：12.5 ÷ = （个）
求站数：5 + = （个）
🧠 挑战题：综合应用
挑战题：在一条长 240 米的马路两侧植树（两端都栽），每隔 8 米栽一棵柳树，每两棵柳树中间栽一棵杨树。柳树和杨树各栽多少棵？
间隔数：240 ÷ 8 = （个）
一侧柳树：30 + 1 = （棵）
两侧柳树：31 × = （棵）
两侧杨树：30 × = （棵，每个间隔中间1棵）
💡 这题有两个易错点：①"两侧"要乘2；②杨树栽在每个间隔里，间隔数就是杨树数，不用 +1。读题时把"一侧还是两侧""两端还是中间"圈出来！
五、本课小结
- 间隔：相邻两棵树之间的距离就是一个间隔
- 核心公式：间隔数 = 总长 ÷ 间隔长
- 两端都栽：棵数 = 间隔数 + 1
- 逆向应用：总长 = (棵数 − 1) × 间隔长
- 思想方法：化繁为简，画图找规律
- 先画图：不确定 +1 还是 −1，随手画一条短线段标几个点，立刻清楚
- 圈关键词："两端都栽""一侧还是两侧"决定用哪个公式
- 用手验证：5根手指4个空，忘规律时看看手
- 别急着算：先想清楚"什么是间隔"，再动笔
- 第22课：植树问题（二） — 一端栽与两端不栽
- 第23课：植树问题（三） — 封闭图形与生活变式
- 第16课：实际问题与方程 — 方程解法的基础
本课最重要的是理解"棵数比间隔数多1"的原因（两端各占一个位置）。如果对化简画图法或者逆向求总长有疑问，随时向老师提问！